아핀 공간의 구성 요소

- 개요

아핀 공간의 정의에 따라 아핀 공간에 속한 물체의 마지막 차원값은 언제나 1이 되어야 한다

이러한 아핀 공간의 성질로부터 가상 공간이 만들어지는데, 이러한 아핀 공간을 구성하는 요소를 알아본다

 

1) 점(Point)

마지막 차원 값이 1인 아핀 공간의 원소를 점(Point)이라고 표현한다

점이 지니는 성질은 행렬 곱을 사용하여 이동할 수 있다는 점이다

가상 공간이 이동하려면 물체는 점으로 구성되어야 한다

 

2차원 공간에서 점은 항상 (x, y, 1)의 형태여야 하는데, 그렇지 않은 경우 이동 변환이 성립되지 않는다

위와 같은 규칙은 3차원 공간에도 동일하게 적용되어 3차원 공간의 점은 항상 (x, y, z, 1)의 형태여야 한다

 

2) 이동 벡터

행렬 곱을 통한 이동 연산을 구현하는 경우의 결과값은 항상 아핀 공간에 닫혀 있어야 한다

이를 위해 아핀 공간에서는 벡터(Vector)라는 개념을 추가적으로 사용한다

이때의 벡터는 이전까지 배운 벡터와 다르므로, 이동 벡터 또는 변위 벡터(Displacement Vector)로 표현한다

 

아핀 공간에서 점의 영역과 이동 벡터의 영역

 

아핀 공간에서 점과 이동 벡터간의 상관관계는 다음과 같이 표현할 수 있다

• 점 p1에 이동 벡터 v를 더한 결과 / 결과적으로 다른 점 p2에 대응 : p1 + v = p2 
• 위 식에서 점 p1을 우변으로 이항 / 결과적으로 점과 점의 뺄셈으로 이동 벡터 생성 : v = p2 - p1
• 이동 벡터의 구현 / 점 p1을 (x1, y1, 1)로 / 점 p2를 (x2, x2, 1)로 변경 : (x1 - x2, y1 - y2, 0)
  • 이동 벡터의 마지막 차원 값은 x와 y의 값과 무관하게 항상 0으로 설정됨