아핀 공간의 성질

- 개요

아핀 공간의 중심을 원점 O라고 한다면 원점 O의 값은 (0, 0, 1)이 된다

아핀 공간에 속한 임의의 점 P의 값을 (x, y, 1)로 지정한다면 원점 O에서 점 P로 향하는 이동벡터는 다음과 같다

• v = P - O = (x, y, 1) - (0, 0, 1) = (x, y, 0)

 

아핀 공간에서 점과 이동 벡터의 관계

 

아핀 공간에서 점과 벡터의 관계를 시작적으로 표현하면 위와 같이 표현할 수 있다

 

- 아핀 공간에서의 표현

아핀 공간에서 눈에 보이는 물체를 점으로, 물체를 이동시키는 보이지 않는 힘을 화살표로 표현할 수 있다

따라서 점들에 이동 벡터 (a, b, 0)을 더하면 물체에 힘을 가해 동일한 크기와 방향으로 이동시킨 결과를 얻을 수 있다

 

아핀 공간에서 물체와 물체를 이동시키는 힘의 표현

 

현실 세계 역시 보이는 물체와 보이지 않는 힘으로 구성되어 있으므로, 

아핀 공간의 점과 이동 벡터를 사용하면 현실 세계를 복제한 가상 공간을 구축할 수 있다

물리적인 관점에서 바라본 현실 세계의 3차원 공간을 유클리드 공간(Euclidean Space)이라고 하고,

유클리드 공간에서 작용하는 힘을 유클리드 벡터(Euclidean Vector)라고 한다

이에 대응하는 개념이 각각 아핀 공간과 이동 벡터이다

 

- 아핀 공간에서 점과 이동 벡터의 관계

아핀 공간에서 점과 이동 벡터는 다음과 같이 정의할 수 있다

• 점 : 물체를 표현하고 위치를 지정하는데 사용, 마지막 차원의 값이 항상 1
• 이동 벡터 : 물체를 움직이는데 사용, 마지막 차원의 값은 항상 0

 

그리고 점과 이동 벡터의 두 요소 사이에는 다음과 같은 연산 규칙이 성립된다

• 점 - 점 = 벡터
• 점 + 벡터 = 점
• 벡터 + 벡터 = 벡터
• 점 + 점 ≠ 점