아핀 공간 & 아핀 변환

- 개요

행렬을 이용한 3가지 변환을 살펴보았지만, 이동하는 기능은 유일하게 행렬곱이 아닌 벡터의 덧셈을 사용하였다

이는 일반적인 행렬을 사용하여 이동에 대응하는 선형 변환을 구현할 수 없기 때문이다

그러나 벡터 공간의 일부에 행렬 곱을 적용하여 이동 기능을 구현할 수 있는데, 이를 아핀 공간이라고 한다

 

- 2차원 행렬의 한계

 

임의의 벡터 (x, y)를 지정한 크기 (a, b)만큼 이동시키는 기능은 위와 같이 행렬의 덧셈으로 구현할 수 있지만,

위의 결과와 동일한 행렬 곱을 만족하는 정방행렬 A는 존재하지 않는다

 

- 3차원 행렬로 변환

그러나 2차원 행렬이 아닌, 3차원 행렬로 변환하면 선형성을 만족하면서 이동 변환을 구현할 수 있다

이때의행렬을 이동 변환행렬(Translate Transformation Matrix)이라고 표현하며 

다음과 같이 설계할 수 있다

 

(a, b)만큼 이동하는 이동 변환행렬

 

이동 변환행렬에서 주의할 점은 이동에 사용하는 벡터의 마지막 차원 값이 항상 1이어야 한다는 점이다

예를 들어 2차원의 (x, y) 벡터를 이동시키고자 하는 경우 값을 (x, y, 1)로 지정해야 한다

그리고 벡터 공간에서 이동을 위해 마지막 차원 값을 1로 한정한 부분을 아핀 공간(Affine Space)이라고 부른다

 

- 아핀 변환

한 차원을 높여 설계한 선형 변환을 아핀 변환(Affine Transformation)이라고 표현하며, 다음과 같이 나타낸다

또한 아핀 변환 행렬에 임의의 벡터 (x, y, 1)을 곱한 결과의 마지막 차원 값도 1이 되는 것을 확인할 수 있다

 

아핀 변환을 적용한 크기 변환 행렬

 

아핀 변환을 적용한 회전 변환 행렬

 

아핀 변환을 적용한 이동 변환 행렬