아핀 결합

- 개요

아핀 공간의 점을 다룰 때 점과 점을 더한 결과는 사용할 수 없다

하지만 선형 결합의 형태로 점에 스칼라를 곱해 더한다면 특정한 조건에서 점을 새로 생성하는 것이 가능하다

2차원 평면상의 임의의 점들 p1, p2, p3에 각각 스칼라인 a, b, c를 곱한 선형 결합은 다음과 같다

• 두 개의 점의 결합 : a · p1 + b · p2 = (ax1 + bx2, ay1 + by2, a + b)
• 세 개의 점의 결합 : a · p1 + b · p2 + c · p3 = (ax1 + bx2 + cx3,  ay1 + by2 + cy3, a + b + c)
• 단, 마지막 차원인 (a + b)와 (a + b + c)의 값이 반드시 1이어야 한다

 

위와 같이 여러 개의 점을 결합해 새로운 점을 생성하는 수식을 아핀 결합(Affine Combination)이라고 한다

다음과 같이 시그마 기호를 사용하여 간략하게 표현이 가능하다

시그마로 표현한 아핀 결합

 

 

- 두 점의 결합

아핀 결합을 통해 생성한 점들 사이에는 특정한 관계가 형성된다

결합에 사용하는 두 개의 점을 P1, P2로 지정하고 아핀 결합으로 생성된 점을 p라고 지정하면 다음의 식이 성립한다

• a · P1 + (1 - a) · P2 = p

 

두 점의 결합에 따른 새로운 점의 생성

 

성립하는 식에 따라서 a의 값이 양의 방향으로 커질수록 P1의 바깥쪽 방향으로 점이 생성되고

a의 값이 음의 방향으로 커질수록 P2의 바깥쪽 방향으로 점이 생성된다

따라서 아핀 결합으로 생성되는 점을 모두 모으면 두 점 P1과 P2를 지나는 무한한 긴 선이 만들어진다

 

- 두 점의 결합의 활용

위에서 성립되는 식을 a로 묶으면 다음과 같이 정리할 수 있다

•  a(P1 - P2) = (p - P2)

 

이때 점에서 점을 빼는 연산은 벡터가 되므로 좌변은 P2에서 P1으로 향하는 벡터 u가 되고

우변은 P2에서 p로 향하는 벡터 v가 된다 

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다

• a · u = v

 

벡터를 통해 결합한 점이 동일 선상에 위치함을 표현

 

위에서 정리한 식에서 벡터 u와 v는 스칼라 곱셈의 성질에 따라 서로 평행한 벡터임을 알 수 있다

따라서 두 점의 아핀 결합으로 생성되는 점은 점 P1과 점 P2를 지나는 직선 상에 위치함을 보장받는다

 

- 직선의 방정식

아핀 공간에서 두 점의 결합에서 실수 a를 대입하면 두 점을 이은 양 끝으로 무한한 선을 얻을 수 있다

이때 해당 수식을 직선의 방정식이라고 한다

• L(a) = a · P1 + (1 - a) · P2

 

직선의 방정식에서 a의 범위에 따라 다양한 종류의 선이 대응되는데 각각 다음과 같이 활용할 수 있다

• 1) -∞ < a < ∞의 범위 = 직선(Line)
  • 양쪽 방향으로 무한히 뻗어나가는 형태
  • 추상적인 선의 성질을 표현하는 용도
• 2) 0 <= a < ∞의 범위 = 반직선(Ray)
  • 한쪽으로만 뻗어나가는 형태
  • 물체를 탐지하는 Raycasting의 용도
  • 빛의 경로를 시뮬레이션하여 사실적인 이미지를 만드는 Raytracing의 용도
• 3) 0 <= a <= 1 = 선분(Line Segment)
  • 시작점과 끝점의 위치가 정해져 있는 형태
  • 컴퓨터에서 화면에 선을 그리는 용도