회전 변환행렬

- 개요

회전 변환행렬(Rotation Transformation Matrix)은 주어진 각 θ로 벡터 공간을 회전시키는 행렬을 의미한다

 

1) 90°에 대한 회전 변환행렬

1 - 1) 반시계 방향(양의 방향)으로 회전하는 회전 변환행렬

반시계 방향(양의 방향)으로 90° 회전하는 회전 변환행렬

 

표준기저벡터 (0, 1)과 (1, 0)에 대해서 반시계 방향(양의 방향)으로 90° 회전하면 다음과 같이 좌표가 변경된다

• 표준기저벡터 (0, 1)을 90° 회전한 벡터 : (0, 1)
• 표준기저벡터 (1, 0)을 90° 회전한 벡터 : (-1, 0)

 

따라서 양의 방향으로 90° 회전을 수행하는 행렬은 다음과 같이 설계할 수 있다

반시계방향으로 90° 회전하는 회전 행렬

 

1 - 2) 시계 방향(음의 방향)으로 회전하는 회전 변환행렬

시계 방향(음의 방향)으로 90° 회전하는 회전 변환행렬

 

표준기저벡터 (0, 1)과 (1, 0)에 대해서 시계 방향(음의 방향)으로 90° 회전하면 다음과 같이 좌표가 변경된다

• 표준기저벡터 (0, 1)을 -90° 회전한 벡터 : (1, 0)
• 표준기저벡터 (1, 0)을 -90° 회전한 벡터 : (0, -1)

 

따라서 음의 방향으로 90° 회전을 수행하는 행렬은 다음과 같이 설계할 수 있다

시계방향으로 90° 회전하는 회전 행렬

 

*** 행렬을 사용하지 않고 90° 회전을 구현하는 방법 ***

2차원 벡터를 90°로 변환하는 작업은 행렬을 사용하지 않고도 구현이 가능하다

• 시계 반대 방향(양의 회전)으로 90° 회전하는 경우 : v = (-y, x)
• 시계 방향(음의 회전)으로 90° 회전하는 경우 : v = (y -x)

 

2) 90°가 아닌 주어진 각에 대한 회전 변환행렬

주어진 각에 대한 회전 변환행렬

 

임의의 벡터 v를 θ만큼 회전시키는 공식은 (cosθx - sinθy, sinθx + cosθy)이므로 위와 같은 결과를 얻을 수 있다

따라서 표준기저벡터가 각 θ만큼 회전했을 때의 벡터는 다음과 같다

• (1, 0)의 벡터를 각 θ만큼 회전한 벡터 : (cosθ, sinθ)
• (0, 1)의 벡터를 각 θ만큼 회전한 벡터 : (-sinθ, cosθ)

 

따라서 각 θ에 대한 회전행렬은 다음과 같이 설계할 수 있다

각 θ에 대한 회전행렬