행렬의 연산 - 행렬의 곱셈

행렬의 곱셈

 

행렬의 곱셈은 좌변에 위치한 행렬의 행벡터와 우변에 위치한 행렬의 열벡터를 각각 곱하는 방식으로 전개된다

이를 위와 같이 표현할 수 있다

 

- 행렬 곱셈의 성질

1) 교환법칙의 불성립

행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하지 않음을 증명

 

위와 같은 연산 과정을 통해 행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하지 않음을 확인할 수 있다

 

2) 결합법칙의 성립

첫 번째 연산식

 

두 번째 연산식

 

위와 같은 연산 과정을 통해 행렬의 곱셈에서 결합법칙이 성립함을 확인할 수 있다

 

3) 행렬 곱셈의 결과에 대한 전치연산

행렬 곱에 대한 전치 연산

 

행렬 곱을 전치 연산한 결과는 순서를 바꿔 각각 전치 연산하여 곱한 결과와 동일함을 알 수 있다

따라서 다음의 식이 성립한다

행렬 곱셈에 대한 전치 연산

 

4) 정방행렬과 2차원 벡터로 구성된 열벡터의 행렬 곱셈

 

위와 같이 (a, b, c, d)의 4가지 원소로 구성된 2 X 2 정방행렬과 2차원 벡터 (x, y)를 열벡터로 설정하고

두 벡터간의 행렬 곱셈을 실행한 결과는 위와 같이 표현할 수 있다

행렬곱의 결과는 벡터 공간의 선형 변환 f(x, y) = (ax + by, cx + dy)와 동일하다

 

따라서 2 X 2 정방행렬은 2차원 공간의 선형 변환에 대응되는 함수를 의미하고,

위의 수식은 2차원 벡터에 선형 변환을 적용해 새로운 벡터를 생성하는 작업으로 해석할 수 있다

또 벡터에 선형 변환을 적용하는 연산 순서는 오른쪽에서 왼쪽 순서로 이뤄짐을 알 수 있다

 

 - 최종 정리

• 행렬 곱셈에서 교환법칙은 성립하지 않는다
• 행렬 곱셈에서 결합 법칙은 성립한다
• 행렬 곱을 전치한 결과는 순서를 바꾼 후에 각각 전치하여 곱한 결과와 동일하다
• 정방행렬은 2차원 공간의 선형 변환에 대응한다