정방행렬의 곱셈

1) 정방행렬간의 곱

2 X 2 정방행렬이 2차원 벡터 공간의 선형 변환에 대응한다면,

2 X 2 정방행렬간의 곱은 합성함수에 대응하는 연산이다

 

벡터와 2개의 정방행렬간의 연산

 

벡터 v에 선형 변환을 나타내는 2 X 2 정방행렬인 A, B를 순서대로 연산한다고 가정한다면,

연산 순서는 오른쪽에서 왼쪽으로 수행하므로 수식은 위와 같다

 

두 번의 선형 변환을 순서대로 적용한 예시

 

 

위의 수식을 세 개의 2차원 공간 V, U, W에 대해 2번의 선형 변환을 거쳐

벡터 공간 V에 속한 벡터 v가 벡터 공간 W에 속한 벡터 w에 대응되는 관계로 해석할 수 있다

 

위 수식의 구성요소들

 

선형 변환을 담당하는 구성요소들인 정방행렬 A, B 그리고 벡터 v의 각 요소를 위와 같이 행렬로 표현한다

 

벡터 v가 벡터 w로 변환되는 과정을 표현

 

벡터 v가 벡터 w로 변환되는 과정은 위와 같이 행렬 곱으로 표현이 가능하다

 

2 X 2 정방행렬간의 곱은 합성함수이므로 결합법칙이 성립

 

2 X 2 정방행렬간의 곱셈은 합성함수이므로 결합법칙이 성립한다

따라서 위의 식이 성립하게 된다

 

2) 행렬간의 곱에 대한 결합법칙의 응용

결합법칙이 성립하는 행렬간의 곱셈의 성질은 컴퓨터의 그래픽 연산에서 아주 유용하게 사용할 수 있다

 

2 - 1) 일반적인 연산

한 점마다 5번의 선형 변환이 이뤄지는 50개의 점으로 구성된 물체

 

예시는 다음과 같다

50개의 점으로 구성된 물체가 모니터에 표현되기까지 5번의 선형 변환이 이루어져야 한다고 가정할 때,

물체의 점을 각각 v1 ... v50으로 표기하고 선형 변환을 수행하는 행렬을 각각 A, B, C, D, E라고 가정한다

 

일반적으로 표현하는 경우의 연산식

 

일반적으로 컴퓨터가 수행해야 하는 연산은 위와 같다

총 한 점마다 5개의 선형 변환이 이뤄지므로 총 250개의 연산이 이뤄진다

 

2 - 2) 결합법칙을 적용한 연산

그러나 행렬 연산의 결합 법칙을 사용하면 계산량을 줄이면서 동일한 결과를 얻을 수 있다

 

행렬 곱을 4번 수행해서 합성함수에 해당하는 행렬 F를 생성

 

우선, 위와 같이 행렬 곱을 4번 수행하여 합성함수에 해당하는 F 행렬을 생성한다

 

행렬 F를 각각의 점 50개와 연산하는 방식으로 수정

 

위와 같이 각각의 점 50개에 F 행렬을 곱하는 연산으로 수정한다

 

결합법칙을 사용하여 수정한 경우의 연산식

 

연산 방식을 수정하는 경우, 최종 연산 수행 결과는 다음과 같다

4번의 연산을 통해 최초의 합성 변환을 만들고

50개의 점마다 1개의 합성 변환을 연산하므로 총 54개의 연산이 발생한다

 

- 최종 정리

250번의 연산과 54번의 연산 결과는 동일하다

그러나 계산량에서의 차이가 매우 크게 발생하기 때문에 행렬은 컴퓨터 그래픽에서 매우 중요하다