1) 벡터 공간에서의 선형성 함수
입력과 출력을 2차원 벡터 공간으로 설정한 상황에서 선형성을 갖는 함수를 알아보기 위해
위와 같이 두 벡터 공간의 대응관계를 표현하였다
구성은 다음과 같다
- 정의역에 해당하는 벡터 공간 : V
- 그 원소 : v
- 공역에 해당하는 벡터 공간 : W
- 그 원소 : w
이때 2차원 벡터를 입출력으로 사용하는 선형성을 가지는 함수는 다음과 같은 형태로 정의할 수 있다
표준기저벡터의 선형 결합으로 형성된 벡터 공간은 선형성을 지닌다
이 벡터 공간을 선형 함수로 변형시킨 새로운 공간도 마찬가지로 선형성을 지닌다
위와 같이 두 공간이 동일한 구조를 지닐 때 두 공간의 관계를 변환(Transformation)이라고 부른다
그리고 선형성을 유지시키는 선형 함수는 선형 변환(Linear Transformation)이라고 부른다
2) 선형 변환과 크기 변환 & 회전 변환
2 - 1) 크기 변환
임의의 벡터 v의 크기를 k배 늘리는 작업은 스칼라 곱셈으로 표현이 가능하다
이때 선형 변환의 (ax + by, cx + dy)의 형식에 a=k / b =0 / c=0 / d=k의 값을 대입한 결과와 동일하므로
임의의 벡터 v의 크기를 늘리는 작업은 선형 변환이다
2 - 2) 회전 변환
임의의 벡터 v를 각 θ만큼 회전시키는 작업은 위와 같이 삼각함수간의 연산으로 표현이 가능하다
이때 선형 변환의 (ax + by, cx + dy)의 형식에 a=cosθ / b=-sinθ / c=cosθ / d=sinθ로 대입한 결과와 동일하므로
임의의 벡터 v를 각 θ만큼 회전시키는 작업도 선형 변환이다
- 정리
벡터 공간에서의 선형 변환은 단순한 비례 관계로 구성된 선형 함수 f(x) = ax처럼
두 집합의 순수한 비를 통해 예측가능한 형태로 변환되며, 변환 후의 벡터 + 변환 전의 벡터를 모두 파악할 수 있다
이러한 선형 변환의 계산 과정을 체계화화여 손쉽게 계산할 수 있는 도구가 바로 행렬이다