사원수 (1)

- 개요

사원수는 4개의 독립된 체계로 구성된 4차원의 수집합으로 2차원의 복소평면을 4차원 공간으로 확장한 개념이다

단위 복소수의 회전 변환의 개념은 사원수에서도 동일하게 적용된다

따라서 수의 구조와 내적, 외적이 가진 성질에 의존하여 3차원 공간의 회전을 구현하기 위해 필요한 수식을 유도한다

 

- 사원수의 표현

사원수

 

사원수는 복소수와 동일하게 허수를 사용하지만, 하나의 실수부와 세 개의 허수부로 구성된다

위 사원수의 식에서 실수부 계수 a와 허수부 계수 b, c, d로 구성되어 있는 것을 확인할 수 있다

이때 허수 i, j, k 모두 허수 단위 i와 같은 성질을 지닌다

 

회전의 순환 순서에 대응하는 두 허수의 곱

 

세 허수 중에서 두 허수의 곱은 나머지 다른 허수에 대응하는데

이는 회전의 순환 순서 x - y - z - x에 유사하게 i - j - k - i 순서로 대응한다

 

사원수를 구성하는 세 허수의 곱의 결과 = -1

 

따라서 i와 j의 곱의 값은 k가 되고 k와 k의 곱은 -1이므로

최종적으로 i와 j와 k의 곱은 -1이라는 식이 성립한다

 

- 사원수의 연산

1) 사원수의 덧셈

사원수의 덧셈

 

사원수의 덧셈은 복소수와 동일하게 실수부와 각각의 허수부끼리 더하는 형태로 진행된다

 

사원수의 덧셈의 성질

 

사원수의 덧셈의 성질을 정리하면 위와 같다

사원수의 덧셈은 결합법칙 + 교환법칙 + 항등원 + 역원을 만족한다

 

2) 사원수의 곱셈

사원수의 곱셈

 

사원수의 곱셈은 모든 요소를 교차해 곱하는 방식으로 진행한다

사원수는 총 4가지 요소로 구성되므로 곱의 결과는 총 16가지 인자가 만들어진다

 

사원수의 곱셈 연산의 성질

 

사원수의 곱셈의 성질을 정리하면 위와 같다

결합법칙 + 분배법칙 + 항등원 + 역원은 만족하지만 교환법칙은 만족하지 않는다

이때 체의 구조에서 교환법칙이 성립하지 않는 구조를 유사체라고 표현하는데,

따라서 사원수는 유사체의 구조를 지닌다

 

3) 사원수의 크기

사원수의 크기

 

사원수의 크기는 복소수와 동일하게 각 계수를 제곱한 값을 더하고 제곱근을 취해 계산한다

계산한 값에 절댓값 기호(| |)를 써서 표기하며 이를 노름이라고 표현한다

또, 사원수 중에서 크기가 1인 사원수를 단위 사원수라고 표현한다

 

4) 켤레 사원수

켤레 사원수

 

켤레 사원수는 사원수의 세 허수부의 계수에 음수를 적용한 사원수를 의미한다

켤레 사원수는 q*로 표기한다

 

켤레 사원수의 성질 (1)

 

사원수와 켤레 사원수의 곱은 복소수와 켤레 복소수의 곱과 동일하다

 

켤레 사원수의 성질 (2)

 

임의의 사원수에 그 켤레 사원수를 곱하면 크기의 제곱값이 계산된다

따라서 단위 사원수와 그 켤레 사원수를 곱한 값은 언제나 1이 계산된다

 

켤레 사원수의 성질 (3)

 

이러한 켤레 사원수의 성질을 사용하여 사원수도 복소수와 동일하게 사원수 곱의 역원을 계산할 수 있다

동일하게 단위 사원수의 곱셈의 역원은 켤레 복소수임을 계산할 수 있다