사원수 (2) 사원수와 벡터

- 개요

이미지 출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%ED%8C%94%ED%8F%AC%EC%B2%B4

 

2개의 요소를 사용하는 복소수는 2개의 수 집합이 직교하는 복소평면으로 시각화할 수 있다

하지만 4개의 수 집합을 사용하는 사원수는 4차원의 공간이므로 시각화가 불가능하다

따라서 사원수를 다룰 때에는 공간을 1차원과 3차원으로 분리하고 3차원 공간의 성질을 관찰한다

 

- 순서쌍을 통한 사원수의 표현

실수(1차원)와 벡터(3차원)로 표현한 사원수

 

사원수를 다룰 때에는 허수부를 사용하는 3개의 집합을 하나로 묶고, 실수부는 별도로 관리한다

세 허수부의 계쑤를 3차원 벡터로 묶는다면 사원수는 실수와 3차원 벡터 2가지로 구성된다

따라서 위와 같이 사원수를 실수와 3차원 벡터로 구성된 순서쌍으로 표현할 수 있다

이때 순서쌍의 원소를 차례대로 실수부(스칼라부), 허수부(벡터부)라고 표현한다

 

순서쌍으로 표현한 사원수끼리의 덧셈

 

순서쌍으로 표현한 서로 다른 사원수간의 덧셈은 하면 위와 같이 계산할 수 있다

 

순서쌍으로 표현한 사원수끼리의 곱셈

 

순서쌍으로 표현한 서로 다른 사원수간의 곱셈은 벡터의 내적과 외적을 사용하여 위와 같이 계산할 수 있다

 

- 순허수 사원수

순허수 사원수

 

순허수 사원수는 사원수에서 실수부가 0인 사원수를 의미한다

즉, 3개의 허수로만 구성된 수를 의미하는데 이는 3차원 공간의 벡터에 대응되는 개념이다

다시 말해서 3차원 공간이 사원수를 다루는 4차원 공간의 일부라면

3차원 공간의 벡터는 순허수 사원수에 대응된다

 

순러수 사원수간의 곱셈

 

순허수 사원수간의 곱셈은 위와 같이 계산할 수 있다

실수부의 값이 0이므로 실수부가 포함된 항의 값은 모두 0이 계산된다

따라서 내적과 외적만 남아 계산이 매우 단순해진다

 

- 프로젝트에서의 사원수

 

Quaternion 구조체를 생성하여 사원수를 사용할 수 있도록 구성하였다

X / Y / Z / W 4개의 실수를 사용하여 사원수를 구성하고 앞의 3개의 실수는 허수부, 1개의 실수는 실수부로 사용한다

RealPart 함수를 호출하여 사원수를 구성하는 실수부(W)의 값(실수)을 반환한다

ImaginaryPart 함수를 호출하여 사원수를 구성하는 허수부(X, Y, Z)의 값(벡터)을 반환한다