오일러 공식 (5) 오일러 공식

- 개요

자연지수함수, 사인 함수, 코사인 함수에 대응하는 매클로린 급수

 

위와 같이 오일러 공식을 구성하는 자연지수함수와 2개의 삼각함수에 대한 매클로린 급수를 표시하였다

위 세 개의 급수는 서로간의 연관성이 존재한다

 

- 세 매클로린 급수간의 연관성

사인 함수와 코사인 함수의 매클로린 급수간의 덧셈

 

sin 함수와 cos 함수의 매클로린 급수를 더하면 위와 같이 자연지수함수의 매클로린 급수와 유사하지만

몇몇 항의 부호에서 큰 차이가 발생하고 있다

 

허수 i를 사용한 자연지수함수의 매클로린 급수

 

이때 자연지수함수의 매클로린 급수에 허수 i를 사용하면 위와 같이 식이 전개된다

이때의 식은 사인 함수와 코사인 함수의 매클로린 급수간의 덧셈식과 동일한 부호가 나타나는 것을 확인할 수 있다

 

오일러 공식

 

최종 완성된 오일러 공식

 

sin 함수와 cos 함수의 매클로린 급수간의 덧셈과 허수를 사용한 자연지수함수의 매클로린 급수의 차이는

짝수 항에 허수 단위 i가 붙어 있다는 점뿐이므로

짝수 항을 담당하는 sin 함수에 허수 i를 곱하고 x를 θ로 대체하면 최종적으로 오일러 공식을 완성할 수 있다

 

- 오일러 공식의 활용

오일러 공식으로 표현한 회전변환

 

오일러 공식의 우변은 복소평면에서 회전 변환을 담당하는 단위 복소수로 사용하였다

따라서 오일러 공식의 좌변은 자연지수함수는 복소평면에서의 회전 변환을 의미한다

최종적으로 2차원 평면의 회전을 나타내는 방법이 추가되었다

 

오일러 공식을 간소화한 각 α와 β의 회전변환

 

이전까지 행렬과 복소수로 표현한 회전 변환은 오일러 공식을 사용하여 자연지수함수로 간단하게 표현할 수 있다

각 α와 β를 곱하면 (α + β)의 회전 변환이 만들어지는데, 지수법칙에 의해 위와 같이 계산할 수 있다