오일러 공식 (3) 급수

수학/이득우의 게임 수학

monstro 2026. 9. 9. 11:30

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- 개요

오일러 공식을 구성하는 자연지수함수와 두 삼각함수는 무한번 미분이 가능하다

이번에는 무한번 미분 가능하다는 공통점을 가진 세 개의 함수를 무한 급수로 표현한다

세 함수를 모두 무한 급수로 표현한다면 오일러 공식에 대한 이해도를 더 높일 수 있다

수열은 규칙에 따라 순서에 맞게 수를 나열한 것을 의미한다

이때 연속된 항들이 일정한 비로 증가하는 수열을 등비수열이라고 표현하며,

등비수열의 규칙에 사용된 비를 공비라고 표현하고 수열의 첫 번째 값을 초항이라고 표현한다

최종적으로 등비수열은 위와 같이 표기할 수 있다

수열의 개념을 확장하여 수열의 모든 값을 더한 것을 급수라고 표현한다

초항 a₀와 n개의 요소로 구성된 수열 급수는 시그마 기호(∑)를 활용하여 위와 같이 표현할 수 있다

위에서 알아본 등비수열의 급수는 위와 같이 표현할 수 있다

이때 등비수열의 급수는 특별히 기하급수라고 표현한다

기하급수는 무한대로 계속 증가하거나 특정 수로 수렴하는 특징이 존재한다

예를 들어 공비가 ½인 기하급수의 경우 위에서 확인할 수 있듯이 1에 수렴하는 것을 확인할 수 있다

등비수열의 초항을 a로 공비를 r이라고 가정하였을 때, n개의 유한한 등비급수를 위와 같이 표현할 수 있다

이때 위의 등비급수에 공비 r을 곱한 경우 위와 같이 계산된다

첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 위와 같이 계산된다

최종적으로 위의 유도식이 계산된다

최종적으로 무한의 극한이 적용되면 공비 r의 값에 따라 기하급수의 극한은 다음과 같이 정리할 수 있다

멱급수는 항마다 계수 a의 값이 다른 급수를 의미한다

따라서 기하급수는 모든 계수의 값이 동일한 멱급수의 한 종류이다

이때 멱급수도 기하급수처럼 특정 조건에 따라 수렴하거나 발산하는데,

이를 판정하는 비판정법이 존재한다

위의 비판정법로 판정되는 계산 결과는 다음과 같다

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