외적의 활용 (2) - 법선 벡터

- 개요

벡터의 외적 연산과 외적 연산 + 내적 연산

 

벡터 외적이 가지는 또 하나의 중요한 성질은 두 벡터에 직교하는 벡터를 생성하는 것이다

두 개의 벡터 u와 v의 외적에 대해 u와 v를 각각 내적하게 되면 항상 0의 결과값이 나오는 것을 확인할 수 있다

따라서 외적의 결과는 두 벡터에 모두 직교함을 알 수 있다

이때 선형 독립의 관계를 가지는 두 벡터의 선형 결합은 평면을 만드므로

따라서 두 벡터의 외적은 두 벡터가 만드는 평면에 직교하는, 평면이 향하는 방향에 대한 벡터를 만드는 것이다

 

- 법선 벡터의 생성

법선 벡터를 생성하는 외적과 외적의 적용 순서에 따른 결과 비교

 

3개의 점 P1, P2, P3를 결합하여 평면을 만들고 점 P2와 점 P3에서 점 P1을 뺀 2개의 벡터 v와 u를 생성한다

이후에 2개의 벡터를 외적하면 세 점이 만들어낸 평면에 직교하는 벡터가 생성된다

생성된 벡터는 평면이 향하는 방향을 나타내며 이 벡터를 법선 벡터 또는 노멀 벡터라고 표현한다

이때 외적에서는 교환법칙이 성립하지 않기에 연산의 순서를 바꾸면 반대 방향으로 향하는 법선 벡터가 생성된다

따라서 법선 벡터를 생성하는 경우 외적의 연산 순서에 주의해야 한다

 

- 벡터의 외적과 좌표계의 방향

Y업 오른손 좌표계를 사용하는 프로젝트에서의 벡터 외적

 

위와 같이 벡터의 외적의 연산 순서에 따라 두 개의 다른 벡터가 나오는 이유는

3차원 공간에서 평면은 앞면과 뒷면으로 구성되어 있기 때문이다

프로젝트에서는 Y업 오른손 좌표계를 사용하므로 외적의 결과는 오른손 법칙을 따른다

평면의 앞면을 파악하고 싶다면 사용하는 좌표계의 방향에 맞춰 손을 감은 후에 엄지 손가락의 방향을 확인한다