외적의 활용 (1) - 평행성 판별

- 개요

3차원 공간의 벡터에서만 사용가능한 벡터의 외적의 성질을 응용하면 여러 기능을 구현할 수 있다

이중에서 두 벡터의 외적 연산의 결과값이 영벡터라면 두 벡터는 평행하다는 성질을 알아본다

 

- 평행성을 판별하는 과정

동일한 벡터끼리의 외적 + 방향이 반대이고 크기는 동일한 벡터끼리의 외적

 

동일한 벡터를 내적하면 벡터 크기를 제곱한 결과를 얻을 수 있다

이때 동일한 벡터 + 방향이 반대이지만 크기는 동일한 벡터끼리 외적하게 되면 영벡터를 얻게 된다

 

평행한 벡터끼리의 외적

 

위와 같은 결과를 바탕으로 평행한 벡터끼리 외적하게 되면 영벡터가 결과값으로 나오는 것을 확인할 수 있다

따라서 평행한 두 벡터를 외적하면 항상 영벡터가 되고, 이러한 외적의 성질은 평행성을 판별하는데 사용한다

이런 외적의 성질은 두 벡터의 직교성을 판별하는 내적의 성질과 대립된다

 

 - 벡터의 외적과 삼각함수

벡터의 내적이 cos 함수에 비례하였듯이, 벡터의 외적은 sin 함수에 비례한다

이를 확인하는 과정은 다음과 같다

 

세 개의 식 - 벡터의 외적 + 벡터의 곱 - 벡터의 내적

 

위와 같이 세개의 식을 준비하고 각각의 식을 전개한다

 

전개한 식을 코사인 공식 - 사인 공식으로의 전환

 

전개한 식에서 내적의 연산을 코사인 공식으로 바꿔 전개하고 코사인 공식을 다시 사인 공식으로 전환한다

최종적으로 벡터 외적의 크기는 sin 함수의 크기에 비례함을 알 수 있다

 

외적으로 생성된 벡터의 크기

 

외적으로 생성된 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이로 나타낼 수 있다

 

- 최종 정리

 

최종적으로 벡터의 내적과 벡터의 외적의 서로 대비되는 성질은 위와 같이 정리할 수 있다