벡터의 외적

- 개요

벡터에는 내적 외에도 외적이라는 연산이 존재하는데,

내적이 모든 차원의 벡터에 적용할 수 있는 것과 다르게 외적은 3차원 공간의 벡터에서만 사용 가능한 연산이다

내적을 두 벡터의 유사도와 각도를 파악하는 숫자 계산에 사용할 수 있다면

외적은 3차원 공간에서 수직인 방향과 면을 다루는 벡터 계산에 사용할 수 있다

따라서 두 연산을 함께 사용하면 응용의 폭을 넓힐 수 있다

 

- 내적과 외적의 차이

2개의 3차원 벡터간의 외적 연산

 

3차원 벡터의 외적은 × 기호를 사용하여 표현한다

외적은 회전의 순환 순서 x -> y -> z -> x에 맞춰 벡터를 순서대로 나열하는 형태이고,

연산 결과가 항상 스칼라로 나오는 내적과 다르게 외적의 결과는 언제나 3차원 벡터가 된다 

 

내적과 외적의 성질 비교

 

외적 계산식의 패턴은 X 성분의 결과를 만들기 위해 X 성분과 관련없는 나머지 두 성분 Y와 Z를 결합하는 것이다

이러한 패턴은 Y와 Z를 만들 때에도 동일한데, 역시 항상 같은 성분만 사용하는 내적과 대비된다

최종적으로 두 연산에 사용하는 벡터의 요소를 비교하면 위와 같다

 

- 외적의 특징

1) 교환법칙

외적의 교환법칙은 성립 X

 

외적은 교환법칙이 성립하지 않는다

 

2) 결합법칙

외적의 결합법칙은 성립 X

 

외적은 결합법칙도 성립하지 않는다

 

3) 덧셈에 대한 분배법칙

외적의 덧셈에 의한 분배법칙은 성립 O

 

다만 외적은 덧셈에 의한 분배법칙은 성립한다

 

4) 순서를 바꾼 외적의 연산

순서를 바꾼 외적의 연산

 

뺄셈에서 두 수의 순서를 바꿔 계산하면 반대수가 나오듯이

외적도 순서를 바꿔 연산하면 반대 방향의 벡터가 결과로 나온다

 

- 최종 정리

 

벡터와 내적의 차이를 최종적으로 정리하면 위와 같이 정리할 수 있다