세 점의 결합

- 개요

눈에 보이지 않는 가상 공간을 다룬 이전과 다르게 눈에 보이는 물체를 다루는 수학을 다룬다

따라서 가장 먼저 물체를 효율적으로 표현하기 위해 세 개의 점을 결합해 삼각형을 만드는 방법을 알아본다

 

- 세 점을 사용하는 아핀 결합식

세 점을 사용하는 경우의 아핀 결합식

 

아핀 결합식에서 사용하는 계수(스칼라)값의 범위에 따라 직선 / 반직선 / 선분등의 다양한 선을 만들 수 있다

세개의 점 p1, p2, p3를 결합하는 경우 스칼라는 2개에서 3개로 늘어나는데, 세 스칼라의 합은 1이어야 한다

따라서 세 개의 점을 사용하는 아핀 결합식은 위와 같이 전개된다

• 첫 번째 식
• 두 번째 식 : 첫 번째 식을 점을 빼는 수식으로 바꿔 전개
• 세 번째 식 : 두 번째 식의 각 괄호를 u, v, w의 벡터로 치환하여 벡터로 구성된 수식 전개

 

선형 독립 관계의 두 벡터간의 결합으로 만들어지는 평면의 점

 

전개된 세 번째 식을 구성하는 벡터 u와 벡터 v가 서로 선형 독립의 관계라면

벡터 w는 2차원 공간에 존재하는 모든 벡터를 생성할 수 있다

따라서 세 점의 아핀 결합은 평면의 모든 점을 만들어낼 수 있다

 

- 범위가 제한된 세 점의 아핀 결합식

세 점의 아핀 결합에서 계수(스칼라)값의 범위를 제한한 경우

 

세 점의 아핀 결합식에서 스칼라 값을 [0, 1]의 범위로 제한해보면 시작과 끝의 범위가 명확해지므로 

선분과 동일하게 그릴 수 있는 도형이 만들어진다

위와 같이 아핀 결합에서 모든 스칼라 값을 [0, 1]의 범위로 한정한 결합을 컨벡스 결합이라고 표현한다

 

컨벡스 결합의 수식

 

컨벡스 결합은 이전에 알아본 아핀 결합식에 각 스칼라의 범위를 [0, 1]로 제한하는 조건을 추가해 표현할 수 있다

 

- 컨벡스 결합과 관련된 이모저모

1) 컨벡스 영역

삼각형의 컨벡스 성질

 

선분이나 삼각형처럼 컨벡스 결합으로 만든 영역을 컨벡스 영역이라고 표현한다

컨벡스의 사전적 의미는 '볼록한'을 뜻하지만,

수학에서의 의미는 영역내의 두 점을 연결한 선분이 언제나 해당 컨벡스 영역안에 존재하는 성질을 의미한다

따라서 삼각형 영역안의 점 p1과 p2를 선택하여 선분을 그리면 선분 p1-p2는 언제나 삼각형 영역안에 존재한다

 

2) 컨케이브

컨벡스 영역과 컨케이브 영역의 비교

 

컨벡스의 반대말은 컨케이브로서 "오목한"을 의미한다

그러나 수학에서의 의미는 영역내의 두 점을 연결한 선분이 영역 밖을 벗어나는 경우를 의미한다

이런 경우 해당 영역을 컨케이브 영역으로 표현한다

 

3) 4개의 점을 결합하는 컨벡스 결합

4개의 점을 결합하는 컨벡스 결합을 벡터로 전개한 수식

 

4개의 점을 결합하는 컨벡스 결합식을 벡터로 전개하면 위와 같이 표현할 수 있다

이때 벡터 u, v, w가 선형 독립 관계라면 3차원 공간의 모든 벡터를 생성할 수 있으므로

아핀 결합으로 생성된 벡터 x는 3차원 공간의 벡터가 된다

 

3차원 공간의 컨벡스 도형 중 하나인 삼각뿔

 

이때 스칼라 a, b, c의 값을 [0, 1]의 범위로 제한한다면 컨벡스 영역은 삼각뿔 영역이 형성된다

해당 영역 내부에서도 마찬가지로 컨벡스 성질이 유지된다

 

- 결론

컨벡스 결합으로 생성되는 컨벡스 도형은 각각 다음과 같다

• 1차원 : 선분
• 2차원 : 삼각형
• 3차원 : 삼각뿔

 

이때 가상 공간의 물체를 표현하기에 가장 적합한 것은 2차원의 삼각형이다

삼각형만으로도 2차원의 물체를 효과적으로 표현할 수 있으며

3차원 물체도 표면만을 다루므로 삼각형을 사용하는 것이 가장 효율적이기 때문이다