원근 투영 (2) - 동차 좌표계

- 개요

두 단계로 분리하여 계산한 클립 좌표와 ndc 좌표

 

투영 평면에 대응하는 정사각형 형태의 NDC 평면은 2차원 평면의 좌표지만,

모든 점에 사용 가능한 원근 투영 행렬을 사용하도록 계산 과정을 두 단계로 구분하고

사용하는 벡터의 값도 한 차원 높여 사용하였다

위와 같이 한 차원 높인 벡터를 사용하는 것을 보통 동차 좌표계를 사용한다고 표현한다

이전에 원근 투영을 위해 하나의 점으로 모이는 사각뿔 공간을 사영 공간이라고 표현하였다

그렇다면 사영 공간과 동차 좌표계는 어떤 연관이 있는지 알아본다

 

- 사영 공간과 동차 좌표계의 관계 (1)

사영 공간에서 점이 평행 이동할 때 투영된 점의 변화

 

위와 같이 형성된 3차원의 사영 공간에서 평행하게 점을 이동시키면

사영 공간의 점과 투영된 점의 좌표는 카메라에서 멀어질수록 원점에 가까워지고,

카메라에 가까워질수록 커지는 반비례 관계를 가진다

 

3차원 사영 공간의 점과 NDC 좌표의 관계식

 

이때 3차원 사영 공간의 점을 (x', y', z')로 표기하고 해당 점이 투영된 NDC 좌표를 (x, y)로 표기한다

NDC 좌푯값은 사영 공간의 마지막 차원 값 z'에 반비례하므로 위와 같은 관계식이 성립한다

 

- 사영 공간과 동차 좌표계 (2)

NDC 좌표에서의 직선 방정식 - y = ax + b

 

(1)과 다르게 이번에는 NDC 공간에서 직선의 방정식 y = ax + b가 존재한다고 가정한다

화면에 보이는 NDC 공간의 직선이 사영 공간의 점들이 투영되어 만들어졌다고 가정한다

 

 

직선의 방정식을 사영 공간의 좌표로 표현하면 위와 같다

(1)에서의 식을 참고하여 x와 y를 치환하여 사영 공간의 좌표로 표기한다

 

 

위의 식의 양변에 z'를 곱하면 상수가 사라지고 세 미지수의 차수가 모두 1차식으로 동일해진다

위와 같이 미지수에 대한 차수가 모두 동일한 방정식을 동차 방정식이라고 표현하며

이런 이유로 사영 공간이 사용하는 좌표계를 동차좌표계라고 표현한다

 

- 결론

 

원근 투영 행렬 P를 계산하기 위한 과정을 두 단계로 분리하여 진행하였다

첫 번째 단계에서 구한 좌표를 클립 좌표라고 표현하고 이는 투영 되기전의 사영 공간의 좌표를 의미한다

따라서 원근 투영 변환에서 알아본 사영 공간, 클립 공간, 동차 공간은 모두 동일한 공간을 의미하고

클립 좌표, 동차 좌표 역시 동일한 좌표계를 의미한다