삼중곱

- 개요

삼중곱의 경우의 수

 

삼중곱 연산은 벡터의 외적과 내적을 두 번 연속하여 사용하는 연산을 의미한다

삼중곱 연산에는 세 개의 벡터 u, v, w가 필요하며 내적과 외적의 순서에 따라 위와 같이 경우의 수가 나뉜다

위의 경우의 수에 대해서 다음과 같이 정리할 수 있다

• 1번 연산 - 괄호 안의 벡터 내적의 결과값이 스칼라가 되므로 유효하지 않음
• 2번 연산 - 괄호 안의 벡터 외적의 결과값이 벡터가 되므로 유효함
• 3번 연산 - 괄호 안의 벡터 내적의 결과는 스칼라, 스칼라와 벡터는 외적할 수 없으므로 유효하지 않음
• 4번 연산 - 괄호 안의 벡터 외적의 결과는 벡터, 벡터와 벡터는 외적할 수 있으므로 유효함

 

최종적으로 2번 연산과 4번 연산만이 유효한 삼중곱 연산이 된다

 

1) 스칼라 삼중곱

2번 연산 - 스칼라 삼중곱

 

2번 연산의 경우를 스칼라 삼중곱이라고 표현한다

외적을 이용한 좌우 물체 판별과 백페이스 컬링의 공식이 스칼라 삼중곱에 해당한다

 

스칼라 삼중곱의 성질

 

부호에 유의한 벡터 u, v, w로 만들어낸 스칼라 삼중곱의 성질은 위와 같다

따라서 스칼라 삼중곱의 결과가 0이 아니라면 세 벡터는 모두 선형 독립의 관계를 가짐을 알 수 있다

 

2) 벡터 삼중곱

4번 연산 - 벡터 삼중곱

 

4번 연산의 경우를 벡터 삼중곱이라고 표현한다

 

벡터 삼중곱의 성질

 

벡터 삼중곱이 지니는 성질은 위와 같고 삼중곱 전개 또는 라그랑주 공식이라고 표현한다

벡터 삼중곱은 다소 복잡한 외적을 두 개의 내적 연산으로 변환한다

이를 통해 벡터의 삼중곱으로 만들어지는 벡터는 두 벡터 v와 w가 만드는 평면에 속해 있음을 알 수 있다

벡터 삼중곱을 이용하면 2차원 공간의 문제를 해결할 수 있다

2차원 평면의 벡터 u와 동일한 평면의 임의의 벡터 v가 주어졌을 때,

동일 평면에서 벡터 u와 직교하는 벡터는 (u × v) × u의 벡터 삼중곱을 이용하여 계산할 수 있다