함수의 종류

정의역과 공역이 서로 대응되는 형태에 따라서 함수를 여러 종류로 구분할 수 있다

 

1) 전사함수

전사함수의 예시

 

전사함수(Surjection 또는 Onto)는 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수를 의미한다

즉, 공역과 치역이 동일한 경우를 의미한다

 

2) 단사함수

단사함수의 예시

 

단사함수(Injection 또는 One-to-One)는 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수를 의미한다

만약 정의역의 두개의 요소가 공역의 한 요소와 대응되면 일대일 대응이 아니므로 단사함수가 아니다

 

3) 전단사함수

전단사함수의 예시

 

전단사함수(Bijection 또는 One-to-One and Onto)는

정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수를 의미한다

전사함수와 단수함수의 2가지 성질을 모두 만족하면 전단사함수로 정의할 수 있다

 

4) 합성함수

함수의 대응 관계를 확장해 다수 집합의 대응 관계로 발전시킬 수 있다

2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산을 함수의 합성(Function Composition)이라고 한다

 

함수의 합성 예시

 

합성함수의 예시

 

두 함수 f(x)와 g(y)를 연쇄적으로 이어 합성함수를 만들었다

이 경우에 중간의 집합 Y를 생략하고 집합 X와 Z의 직접적인 대응 관계를 만들 수 있다

이러한 합성함수의 표기는 g∙y 또는 g(f(x))로 표시한다

먼저 실행하는 함수를 ∙ 기호의 오른쪽에 표기한다

 

합성함수를 이항 연산으로 규정한다면 합성함수는 결합법칙이 성립한다

즉, (h ∙ (g ∙ f))(w)와 ((h ∙ g) ∙ f)(w)의 실행 결과는 동일하다

 

5) 항등함수

항등함수의 예시

 

정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수를 항등함수(Identity Function)이라고 하며 기호 id로 나타낸다

 

- 항등함수로 합성함수를 만드는 경우

일반 함수를 먼저 수행

 

항등함수를 먼저 수행

 

첫 번째 수행 과정을 수식으로 나타내면 id ∙ f = f이고, 두 번째 수행 과정을 수식으로 나타내면 f ∙ id = f이다

따라서 항등함수는 합성 함수에서 어떤 위치에 있든지 합성의 결과를 원 함수와 동일한 대응 관계로 만들어준다

 

6) 역함수

역함수의 예시

 

역함수(Reverse Function)는 두 집합의 대응 관계를 뒤집어 공역 Y에서 정의역 X로 대응하는 함수이다

역함수에서 주의할 점은 모든 함수가 역함수를 갖지는 않는다는 사실이다

• 전사함수 : 하나의 원소가 2개의 원소에 대응하는 경우가 있으므로 역함수가 반드시 존재하지는 않는다
• 단사함수 : 공역을 정의역으로 치환할 때, 대응하지 않는 원소가 있을 수 있으므로 역함수가 반드시 존재하지는 않는다
• 전단사함수 : 공역과 정의역이 빠짐없이 1:1로 대응하므로 역함수가 반드시 존재한다

따라서 어떤 함수가 역함수를 가지기 위해서는 반드시 전단사함수의 형태가 되어야 한다

 

- 역함수의 성질

역함수의 경우 특수한 성질을 지니고 있는데 다음과 같다

 

역함수 공식 (1)

 

어떤 함수와 역함수를 합성한 결과는 항상 항등함수가 된다

따라서 위와 같은 식이 성립한다

 

역함수 공식 (2)

 

합성함수의 역함수는 합성함수를 구성하는 두 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 결과와 동일하다

따라서 위와 같은 식이 성립한다