복소수 (1)

- 개요

실수 외에도 체의 구조를 가지는 수 집합으로 "복소수"가 존재한다

복소수는 실수와 허수의 두 가지 수로 구성된 집합으로, 수직선으로 표현되는 실수와 다르게 2차원 평면으로 표현된다

1차원을 넘어선 다차원의 수인 복소수와 복소수 연산은 오일러 각의 단점을 개선하는 사원수에서 사용된다

 

- 복소수란?

복소수 집합의 구성

 

일상에서 사용하는 대부분의 수는 하나의 값으로 표현되지만,

특이하게 두 개의 값으로 구성되는 수집합이 존재하는데, 이를 복소수라고 하며 집합 기호 C로 표현한다

복소수는 위의 이미지와 같이 실수와 허수의 독립된 2개 요소로 구성된 수 집합이다.

 

1) 복소수의 구성

허수 단위 i

 

허수는 제곱해서 음수가 되는 수로서, 실수만으로 해결되지 않는 문제를 해결하기 위해 고안되었다

허수는 i 기호를 사용하여 표현하며, 이를 허수 단위라고 부른다

허수 i를 제곱하면 위와 같이 -1이 계산된다

 

 

실수부와 허수부 표기 (1)

 

실수부와 허수부 표기 (2)

 

복소수 내에서 서로 완전히 분리된 실수 집합과 허수 집합은 각각 실수부와 허수부로 표현한다

이때, 허수부는 항상 i를 사용하여 표기한다

따라서 위와같이 실수부의 값은 a이고 허수부의 값은 b인 복소수는 + 기호를 사용하여 표현한다

또는 괄호를 사용하여 실수부를 앞에, 허수부를 뒤에 표기한 순서쌍의 형태로 표현할 수 있다

 

2) 복소수의 구조

2 - 1) 복소수의 덧셈

복소수의 덧셈 : + 기호 표현과 순서쌍 표현

 

복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 구분하여 각각 더해주는 방식으로 계산한다

순서쌍으로 표현된 복소수의 덧셈은 2차원 벡터의 덧셈과 동일하다

 

복소수의 덧셈 연산이 만족하는 성질

 

순서쌍을 구성하는 a, b, c, d 모두 실수이므로 벡터 덧셈 연산의 성질을 참고하여

순서쌍으로 만든 세 개의 복소수 (a, b) / (c, d) / (e, f)를 사용하여

위와 같이 복소수 덧셈 연산이 만족하는 성질도 파악할 수 있다

 

복소수 덧셈 연산의 성질

 

최종적으로 복소수 덧셈 연산의 성질을 위와 같이 정리할 수 있다

복소수의 덧셈은 결합법칙, 교환법칙을 만족한다

또, 덧셈의 항등원은 (0, 0)이며 임의의 복소수 (a, b)에 대한 덧셈의 역원은 -(a, b)이다

 

2 - 2) 복소수의 곱셈

복소수의 곱셈 : + 기호 표현과 순서쌍 표현

 

복소수의 곱셈은 모든 요소를 교차하여 곱하는 방식으로 동작한다

따라서 임의의 복소수간의 곱셈은 위와 같이 표기한다

 

복소수의 곱셈 연산이 만족하는 성질

 

실수가 갖는 체의 성질에 근거하여 복소수 곱셈 연산의 성질을 분석한다

순서쌍으로 표현한 세 개의 복소수 (a, b) / (c, d) / (e, f)를 대상으로 위와 같이 나타낼 수 있다

 

복소수 곱셈 연산의 성질

 

최종적으로 복소수 곱셈 연산의 성질을 위와 같이 정리할 수 있다

복소수의 곱셈은 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙을 만족한다

또, 복소수의 곱셈 연산의 항등원의 값은 (1, 0)이다

 

2 - 3) 복소수의 크기

복소수의 크기 계산식

 

복소수의 크기는 2차원 벡터와 동일하게

실수부와 허수부의 각 요소를 제곱하여 더하고 제곱근을 취하여 계산한다

복소수의 크기는 실수와 동일하게 절댓값 기호(| |)를 사용하여 표기하며 복소수의 노름(Norm)이라고 표현한다

마지막으로 크기가 1인 복소수의 크기를 단위 복소수라고 표현한다

 

2 - 4) 켤레 복소수

켤레 복소수 : + 기호 표현과 순서쌍 표현

 

켤레 복소수는 두 복소수와의 관계를 나타내는 용도로 사용한다

임의의 복소수를 c라고 가정한다면 c의 켤레 복소수는 * 첨자 기호를 사용하여 *c나 c̄로 표시한다

 

켤레 복소수의 성질

 

켤레 복소수의 기호는 연산처럼 사용할 수 있으며 위와 같은 성질이 성립된다

 

복소수와 해당 복소수의 켤레 복소수의 곱셈 연산

 

또, 어떤 복소수에 그 복소수의 켤레 복소수를 곱하면 해당 복소수의 크기를 제곱한 결과를 얻을 수 있다

 

2 - 5)  복소수 곱셈의 역원 - 복소수의 크기와 켤레 복소수의 활용

복소수의 곱셈의 역원 계산 (1)

 

2 - 2)에서 알아보지 못한 복소수의 곱셈의 역원을 복소수의 크기와 켤레 복소수를 통해 계산할 수 있다

복소수 c에 대한 곱셈의 역원을 c(-1)이라고 할 때, 그 역원의 분모와 분자에 켤레 복소수를 곱한다

 

복소수의 곱셈의 역원 계산 (2)

 

이후 켤레 복소수의 성질에 따라 분모의 허수부가 제거되며 역원의 표현이 가능해진다

 

복소수의 곱셈의 역원 계산 (3)

 

최종적으로 복소수 c에 대한 곱셈의 역원 c(-1)은

위와 같이 켤레 복소수와 복소수 크기에 관한 식으로 표기할 수 있다

 

- 최종 정리

복소수의 크기가 1인 단위 복소수라면, 해당 복소수의 곱셈의 역원은 켤레 복소수이다

최종적으로 복소수의 곱셈의 역원이 존재하였는지 확인하였으므로 복소수 집합은 다음과 같이 정의할 수 있다

• 복소수 집합의 덧셈 : 교환법칙 + 결합법칙 + 분배법칙 + 항등원 + 역원
• 복소수 집합의 곱셈 : 교환법칙 + 결합법칙 + 분배법칙 + 항등원 + 역원

 

따라서 복소수 집합은 체의 구조를 만족한다