3차원 공간의 트랜스폼

- 개요

3차원 공간의 Transform은 기저벡터가 하나 더 증가했을 뿐, 2차원 공간의 Transform 설계와 다르지 않다

최종적으로 3차원은 X축과 Y축에 직교하는 Z축이 하나 더 늘어나는 형식으로 구성된다

 

- 3차원 공간의 크기 변환 행렬 + 이동 변환 행렬

3차원 공간의 크기 변환 행렬

 

3차원 공간을 구성하는 세개의 축은 모두 독립적으로 동작하므로 3차원 공간의 크기행렬은 위와 같이 설계할 수 있다

 

3차원 공간의 이동 변환 행렬

 

동일하게 이동 변환의 모든 축도 독립적으로 동작하므로 이동행렬은 위와 같이 설계할 수 있다

 

- 3차원 공간의 회전 변환 행렬

3차원 공간의 세 기저벡터로 만들어지는 회전 행렬

 

회전 변환은 강체 변환의 성질을 지니고 있다

따라서 3차원 공간의 회전 변환은 3차원 공간의 세 기저벡터가 동일한 크기와 직교성을 유지한 채로 함께 움직여야 한다

그러므로 회전 변환으로 달라진 세 표준기저벡터값을 알 수 있다면

이를 열벡터로 변환하여 회전 변환행렬 R을 생성할 수 있다 

 

- 문제점

그러나 위의 방법을 사용하면 매번 3개의 변화된 표준기저벡터의 벡터 값을 계산해야 하므로 많은 부하를 일으킨다

따라서 회전을 지정할 때는 일반적으로 회전하는 중심축과 각으로 표현된 회전량을 지정하는 방식을 사용한다

이때 하나의 평면만 존재하는 2차원 공간에서는 각으로 회전량을 지정하면 회전을 설계할 수 있었다

그러나 무수히 많은 평면이 존재하는 3차원 공간에서는 새로운 방식이 필요하다

이를 위해 사용할 수 있는 방법이 바로 오일러 각이다