수와 집합 - (1) 수집합

집합(Set)은 서로 구분되는 원소(Element)로 구성된 묶음으로 정의한다

그리고 이러한 집합에 대한 이론을 소박한 집합론(Naive Set Theory)이라고 한다

 

소박한 집합론의 관점에서는 용도에 따라 수의 집합을 여러 방식으로 정의하여 구분하는데,

대표적으로 다음과 같이 구분할 수 있다

• 자연수
• 정수
• 유리수
• 실수
• 복소수
• 사원수
• ...

위와 같이 구분한 수집합은 각기 다른 정의를 지니고 각 집합별로 고유한 기호를 사용한다

 

- 다양한 수집합

 

다양한 수의 집합을 위와 같이 표로 표현하였다

각 수집합의 정의와 함께 수집합을 의미하는 기호도 같이 작성하였다

 

- 다양한 수집합의 관계

 

각 수집합의 관계를 다이어그램으로 표현해보았다

글로 표현하면 다음과 같이 작성할 수 있다

자연수⊂정수⊂유리수⊂실수(무리수)⊂복소수(허수)의 관계로 이뤄져 있다

 

- 소박한 집합론에 따른 수집합의 분류에 존재하는 문제

소박한 집합론에 따라 수집합을 분류하는 것은 인간의 언어로 이뤄지므로 보편적인 관념에 의존할 수 밖에 없다

따라서 각 수집합의 체계와 특성에 따라 분석하고 분류하기 위해서는 다른 방법이 필요하다

 

이런 작업을 위해 집합의 성질을 참과 거짓으로 명확하게 구분하기 위한 명제가 필요하다

이런 명제 중에서 증명할 필요가 없는 기본 명제를 공리(Axiom)라고 하는데,

공리를 기반으로 대상을 구분하는 집합론을 공리적 집합론(Axiomatic Set Theory)이라고 한다

 

공리적 집합론을 통해 수집합을 분류하는 경우에는 수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 분류한다

따라서 수집합이 가지고 있는 연산의 성질을 알아볼 필요가 있다